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Exercices corrigés - Somme et produit avec un système à 2 équations et 2 inconnues

Cours de maths en ligne sur Somme et produit avec un système à 2 équations et 2 inconnues en Première

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À la disparition des petits exercices de résolution de système en utilisant des techniques du second degré. Donc vous avez l'habitude de régler des systèmes une ou deux équations avec deux inconnues encore. Sauf que là, on va les faire différemment. On va utiliser une des propriétés du cours qu'on affiche juste ici et qui dit que si j'ai deux nombres p et q tel que je connais la somme de p et q p et q et que ça fait B et que je connais le produit de p q et que ça fait cinq. Alors mon p et q pour les trouver. J'ai juste à trouver les racines du polynôme qui vaut X au carré moins bx plus est égal à zéro. Donc là je comprends que c'est du chinois. Ce qu'on va faire, c'est qu'on va le faire. Vous allez voir à quel point c'est simple. Donc j'ai deux inconnues P et Q telle que je connais la somme des deux, ça fait un et je connais le produit des deux, ça fait au moins six. Donc ce qu'on va faire, c'est qu'on va construire un polynôme. Pour lequel PQ sont les racines. Pour ça j'utilise la formule. Je sais que PQ. C'est les racines. De X au carré. Moi bx. Donc vu comme B il vaut par mon pays vaut un. Ça me fait moins X plus est égal à zéro. Le conseil vaut -6 est égal à zéro. Donc je sais que P et Q c'est la racine du polynôme. Sauf que comment je fais pour régler un polynôme comme je retrouve ses racines? Ça, vous savez très bien faire. On calcule le delta et à partir du delta on trouve les racines. Donc c'est parti. Mon delta ici vaut B au carré, donc moins à -4 fois. Donc un fois cinq fois -6 mois, quatre fois, un fois -6 -4 fois un. Ça fait -4 -4 fois moins si ça fait 24, donc un plus 24. 25 et je calcule mes deux racines et évidemment je calcule mes deux racine parce que ce polynôme il est strictement positif et que quand un polynôme a un déterminant qui est strictement positif, je de racines qui sont x1 égale moins B moi racine de delta sur deux ap et x deux qui vaut moins b plus de racine de delta. Sur deux ans. C'est parti, donc moins, mais moins. Moi ça me fait un mois. Racine Delta racine de 25, c'est cinq sur 2 à 2 fois, deux de fois deux en -5 sur deux, ça me fait quatre, sur d'autres, ça fait moins de. J'ai ma première racine. Et ma deuxième racine donc. Plus cinq aussi, donc six sur deux. Donc elle vaut trois. OK. Pourquoi c'est cool? Parce que P et Q, c'est à dire les solutions de ce système d'équations, c'est aussi les racines de ce polynôme là qu'on a construit en utilisant le un là et le -6 ici. Donc je sais que P et Q, c'est en fait les racines que j'en ai trouvé. Donc je peux dire directement ce que fait il vaut -2 et que q il vaut trois. On remarque que j'aurais pu échanger. J'aurais pu dire P et Q également servir strictement même. Et hop, j'ai les solutions de mon système. d'Équations et des équations. Allez en provençal si elle est pas en voulant. Prenez vous deux minutes à essayer de le faire au brouillon comme je l'ai fait fut ce qu'on a fait là. Cette pause faite au brouillon, c'est parti. Correction. Donc on a deux nombres x et y tel que je connaisse la somme des deux. Ça fait moins cette demi. Je connais aussi le produit des deux, ça fait -2. Donc je vais construire le polynôme dont je sais que x et Y sont les racines. Donc ce polynôme il vaut toujours d'après la formule X au carré moins BX. Donc je vous rappelle que ça c'est mon B et ça c'est bon. C'est donc moins BX, donc plus cette demi de X. Plus c'est donc -2. Est égal à zéro. Et c'est reparti pour les calculs que vous connaissez. Pour savoir quand un polynôme est nul. Je commence par calculer son déterminant, donc celle de mi au carré 49. Car au moins quatre fois fois un fois. C'est alors 40 9 h car je laisse. Un fois quatre, ça fait quatre, quatre fois -2, ça fait -8, mais j'ai moins de vent donc ça fait plus suite. Ensuite. Comment est ce que je peux simplifier ça? J'ai envie de tout mettre au même dénominateur, de mettre ce huit sur quatre et j'ai multiplié par quatre.

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Très bien, donc quatre fois 1032, ça me fait 49 plus. 32. Sur quatre et 49 plus 32, ça me fait quatre un sur quatre. Mon déterminant, il est positif. J'ai donc deux racines qui sont x égale moins b, donc moins cette demi. Moins racines de delta, donc racines de 80 un sur quatre, ça me fait neuf de mis, le tout divisé par deux à diviser par deux mois et demi -9 demi, ça fait -16 demi mois, c'est de diviser par deux, c'est comme faire moins. C'est demi et multiplié par un demi. Je vous rappelle que quand on divise quelque chose par deux, c'est comme le multiplier par l'inverse de deux donc en demi et ça fait donc seize sur quatre qui simplifie en -4. J'ai la première racine pour trouver ma deuxième racine x deux. J'ai juste à remplacer ce mois par un plus, donc ça me fait -7 de plus neuf de mieux, le tout divisé par deux. -7 plus neuf, ça fait deux demi, donc un au dessus divisé par deux. En 2000. J'ai trouvé les deux racine de ce polynôme là. Or je sais que x et Y c'est les racines de ce polynôme. D'après le cours du tout, je peux écrire que x y vaut un demi et y il vaut -4. Ou alors y a également un demi x également k, peu importe. Alors cet exercice là, vous pouvez aussi le retrouver sous cette forme là. Et là, vous vous dites mais qu'est ce qui se passe? J'ai plus X, plus y égale quelque chose et x fois y a quelque chose. J'ai un sur x+ un. Sur les grecs il y a quelque chose. Alors moi je vais vous montrer le réflexe qu'il faut poser dans ce moment là parce qu'en fait c'est une très légère variation de ce qu'on vient de voir ici. Vous montre. Je vais prendre cette idée là et je veux la mettre. Au même dénominateur. Je la recopie. Comment je fais pour la mettre au même? Illuminateur. Je vais multiplier ici par les grecs. Et ici par ex. Et je retrouve exactement la même chose. Donc ma première ligne elle va devenir grecque sur x y grec. Plus. X sur X y est égal à sept. Quatre et je touche pas ma deuxième ligne. Ici grecs et moins de man ont vu qu'ils sont au même dénominateur. Je peux les mettre sous la même bas. Deux fractions. Regardez l'astuce, je vais prendre mon X grec et je vais le remonter là haut. C'est dire que j'ai multiplié les deux côtés par ici. Mon système, il devient. Y a plus x sur x y le tout. Fois X est égal à sept car fois x est grec et ne touche pas au bas. Vous remarquez, je trouve jamais au bas. Je recopie mon système d'équations en touchant que d'avoir du aux équations. Maintenant regardez ce qui se passe vu que je lui ai dit que je dois simplifier, donc je simplifie. J'efface. Et je me retrouve avec huit Grecs. Plus X est égal à sept quatre fois x. Sauf que X je connais sa valeur. Ça vaut -2. Donc ça fait sept quatre fois. Moi d'après la ligne du dessous. Et là, vous vous rendez compte que c'est quatre fois -2. Si je le modifie un peu, ça fait finalement. I plus x sept, carrefour -2 donc. Moi je le mets sur le fait le deux et va simplifier avec le quatre du bas et va rester moi. Sept sur deux et x y avec égal -2. Et ce système là, c'est quoi? C'est exactement le système qu'on a trouvé avant. Donc, en fonction de à quel point votre prof est vicelard, vous pouvez vous retrouver soit avec des exercices comme ça, soit avec des exercices ou il va falloir modifier légèrement l'équation pour se ramener à un système qu'on connaît. Entraînez vous, ce n'est pas une compétence qui est facile, ce n'est pas un truc qui est facile à comprendre. Donc on a mis des exercices en dessous. Vous venez de comprendre comment on fait, alors on bosse.